Çember: merkez, yarıçap ve pergel ile çizim

Çember nedir?

Çember, düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu geometrik şekildir. Bu sabit noktaya merkez denir. Merkezden çember üzerindeki bir noktaya olan uzaklığa ise yarıçap denir.

Bunu kolayca düşünebiliriz. Kâğıtta bir O noktası seçelim. O noktasına hep aynı uzaklıkta olan noktaları işaretleyelim. Bu noktalar birleşince çember oluşur. Demek ki çemberde en önemli fikir, eşit uzaklık düşüncesidir.

O merkezli bir çemberde A ve B noktaları çemberin üzerinde olsun. Bu durumda [OA] ve [OB] doğru parçaları yarıçaptır. Uzunluk olarak da |OA| ve |OB| yazılır. Aynı çemberde bütün yarıçaplar eşit olduğu için |OA| = |OB| olur.

Geometride gösterimler çok önemlidir. [AB] yazımı doğru parçasını, |AB| yazımı ise bu doğru parçasının uzunluğunu gösterir. Bu ayrımı iyi bilmek için doğru, doğru parçası ve ışın konusunu da inceleyebilirsin.

Çember konusu 5. sınıf geometrisinin önemli başlıklarından biridir. Konuların genel sırasını görmek istersen 5. sınıf matematik konuları listesi yardımcı olur.

MEB öğretim programında öğrencilerin çember çizmesi, yarıçap ilişkisini fark etmesi ve kesişen iki çember üzerinden üçgenlerin kenar özelliklerine yönelik çıkarım yapması beklenir. Ayrıntılar için MEB öğretim programı incelenebilir.

Burada bir noktayı daha ayıralım: Çember ile daire aynı değildir. Çember, sınır çizgisidir. Daire ise bu çizginin iç bölgesiyle birlikte düşünülür. Bu yazıda odak noktamız çemberdir.

Çemberi öğrenirken hemen ölçü yapmaya gerek yoktur. Önce hangi parçanın merkezden çıktığını ve hangi noktanın çember üzerinde olduğunu anlamak yeterlidir. Böylece birçok soruda yalnızca düşünerek sonuca ulaşabilirsin.

Çemberin merkezi yarıçapı nasıl anlaşılır?

Çemberin merkezi yarıçapı konusu, bu ünitenin temelidir. Merkez, çemberin sabit noktasıdır. Yarıçap ise merkezden çember üzerindeki herhangi bir noktaya çizilen doğru parçasıdır.

O merkezli bir çember düşünelim. Çember üzerinde A, B ve C noktaları olsun. O zaman [OA], [OB] ve [OC] birer yarıçaptır. Bu yüzden |OA| = |OB| = |OC| olur. Yani aynı çemberde merkezden çember üzerindeki her noktaya uzaklık aynıdır.

Bu özellik sorularda çok işimize yarar. Çünkü bazen cetvelle ölçmeden de sonuca ulaşabiliriz. Eğer bir noktanın çember üzerinde olduğunu biliyorsak, merkezle o nokta arasındaki parçanın yarıçap olduğunu da anlarız.

Günlük hayattan bir örnek verelim. Bir bisiklet tekerleğinin göbeğini merkez gibi düşünebiliriz. Göbekten dış kenara olan uzaklık her yönde aynıdır. İşte bu düşünce çemberin mantığıdır.

Burada önemli bir nokta var: Merkezden çember üzerindeki bir noktaya giden parça yarıçaptır. Her yarıçap çap değildir. Çap, çemberin iki noktasını birleştirir ve merkezden geçer. Bu yazıda odak noktamız yarıçap ve yarıçapın verdiği eşitlik bilgisidir.

Kesişen iki çember sorularında da aynı düşünce kullanılır. A ve B merkezli iki çember C noktasında kesişiyorsa [AC] ve [BC] ilgili çemberlerin yarıçaplarıdır. Bu bilgi, kurulan üçgenin kenarlarını sınıflandırırken çok önemlidir.

Bir soruda önce şu üç soruyu sorabilirsin: Merkez nerede? Çember üzerindeki nokta hangisi? Bu ikisini birleştiren parça var mı? Eğer varsa, o parça yarıçaptır. Bu kısa kontrol, yanlış yapma ihtimalini azaltır.

Pergel ile çember çizme adımları

Pergel ile çember çizme, 5. sınıfta beklenen temel becerilerden biridir. Kareli ya da çizgisiz kâğıtta yapılabilir. Buradaki amaç, merkez sabit kalırken yarıçapın değişmediğini görmektir.

1. Önce kâğıtta bir merkez noktası belirle. Buna O diyelim.
2. Pergelin sivri ucunu O noktasına yerleştir.
3. Kalemli ucu istediğin kadar aç. Bu açıklık yarıçapı belirler.
4. Pergelin açıklığını değiştirmeden pergeli döndür.
5. O noktasına eşit uzaklıktaki noktalar birleşir ve çember oluşur.

En önemli kural şudur: Çizim boyunca pergelin açıklığı değişmemelidir. Açıklık değişirse bazı noktalar merkeze yakın, bazı noktalar uzak olur. O zaman düzgün bir çember çizilmez.

Çizimden sonra çember üzerinde bir A noktası seçebilirsin. [OA] çizildiğinde bir yarıçap elde edilir. Sonra çember üzerinde başka bir B noktası seçip [OB] çizersen yine yarıçap elde edersin. Bu iki uzunluk eşittir.

Pergelle çizim yapmak sadece şekil çizmek için değildir. Aynı zamanda düşünmeyi de geliştirir. Çünkü öğrenci çizim sırasında şunu fark eder: “Merkez aynı kaldı, uzaklık da aynı kaldı.”

MEB öğretim programındaki öğretim notlarında kareli ve çizgisiz kâğıtta pergel çalışmaları önerilir. Ayrıntılı çerçeve için MEB öğretim programı incelenebilir.

Bu beceri ileride çokgenler ve üçgenlerle bağlantı kurarken işe yarar. Özellikle üçgen çeşitleri konusunda kenar eşitliklerini anlamak için iyi bir temeldir.

Pergel ile çizim yaparken kâğıdı çevirmek serbesttir; önemli olan açıklığın değişmemesidir. Elin kayarsa yeniden deneyebilirsin. İlk denemede kusursuz çizmek zorunda değilsin.

İstersen önce büyük bir çember, sonra daha küçük bir çember çiz. Sonra her ikisinde de merkezden çember üzerindeki bir noktaya parça çiz. Böylece farklı büyüklükte çemberlerde bile “yarıçap kendi çemberi içinde eşittir” düşüncesini daha iyi anlarsın.

Çember ile kesişen iki çemberden üçgen kurma

Şimdi çember konusunun önemli bir bölümüne gelelim. A ve B merkezli iki çember düşünelim. Bu iki çember C noktasında kesişsin. C noktası iki çemberin de üzerinde olduğu için [AC] ve [BC] yarıçaptır. [AB] ise merkezleri birleştiren doğru parçasıdır.

Bu durumda [AC], [BC] ve [AB] doğru parçaları bir üçgen oluşturur. Yani ABC üçgeni kurulmuş olur. Burada kenarların uzunlukları |AC|, |BC| ve |AB| şeklinde gösterilir.

Üçgenin türünü bulmak için bu üç uzunluğu karşılaştırırız:

• |AC|, |BC| ve |AB| birbirinden farklıysa üçgen çeşitkenardır.
• Bu üç uzunluktan ikisi eşitse üçgen ikizkenardır.
• Üç uzunluk da eşitse üçgen eşkenardır.

Burada önemli olan, ölçü aleti kullanmadan düşünmektir. Çünkü [AC] ve [BC] parçalarının yarıçap olduğunu biliyoruz. Yani bazı eşitlikleri yalnız çember özelliğinden anlayabiliriz.

Örnek düşünelim: iki çemberin yarıçapı 5 cm ve 5 cm olsun. Merkezler arası uzaklık yani |AB| 6 cm olsun. O zaman |AC| = 5 cm ve |BC| = 5 cm olur. İki kenar eşit, biri farklıdır. Demek ki ABC üçgeni ikizkenardır.

Başka bir örnekte yarıçaplar 4 cm ve 5 cm, merkezler arası uzaklık 6 cm olsun. O zaman |AC| = 4 cm, |BC| = 5 cm ve |AB| = 6 cm olur. Üç uzunluk da farklı olduğu için üçgen çeşitkenardır.

Eğer yarıçaplar 4 cm ve 4 cm, ayrıca |AB| de 4 cm ise üç kenar eşit olur. Böyle bir durumda ABC üçgeni eşkenardır.

Bu sınıflama, üçgen çeşitleri konusu ile doğrudan ilişkilidir. Açılarla bağlantı kurmak istersen daha sonra üçgenin iç açıları toplamı konusuna geçebilirsin. Ancak burada asıl hedef, kenar eşitliğini yarıçapla açıklamaktır.

İki çember iki noktada kesişiyorsa ikinci kesişim noktası seçildiğinde de benzer bir üçgen oluşur. Çünkü o nokta da her iki çemberin üzerindedir. Bu yüzden yarıçap bilgisi değişmez.

Bu konuda yalnızca kenar özelliklerine odaklanırız. Yani çemberlerin merkezleri, yarıçapları ve kesişim noktasından kurulan üçgende hangi kenarların eşit olduğunu inceleriz. Gerekmeyen ileri bilgilerle uğraşmayız.

Çemberde temel bilgiler tablosu

Aşağıdaki tablo, çemberle ilgili temel kavramları kısa biçimde tekrar etmeni sağlar.

Kesişen çemberlerde üçgen sınıflama tablosu

Bu tablo, kesişen iki çemberden kurulan üçgende kenar eşitliğine göre hangi üçgenin oluştuğunu özetler.

Sık yapılan hatalar

Çember öğrenilirken bazı karışıklıklar sık görülür. Bunları önceden bilirsen daha dikkatli çalışırsın.

• Merkezden çıkan her parçaya çap demek: Merkezden çember üzerindeki tek bir noktaya giden [OA] gibi parçalar yarıçaptır.
• Yarıçapları eşit iki çemberden her zaman eşkenar üçgen çıkar sanmak: Eşkenar olması için |AB| uzunluğunun da aynı olması gerekir.
• Yarıçaplar farklıysa üçgen mutlaka çeşitkenardır demek: Merkezler arası uzaklık yarıçaplardan birine eşitse iki kenar eşit olabilir.
• Cetvel olmadan üçgen sınıflanamaz sanmak: Yarıçap bilgisini kullanarak da kenar eşitliği anlaşılabilir.
• [AB] ile |AB| gösterimini karıştırmak: İlki doğru parçası, ikincisi uzunluktur.
• İki kesişim noktasından biri seçilince bütün uzunluklar değişir sanmak: Her iki nokta da çemberlerin üzerindedir; yarıçap özelliği korunur.

Bu hatalar çoğu zaman acele okumaktan olur. Soruda hangi parçanın yarıçap olduğunu önce belirlemek çözümü kolaylaştırır.

Bir başka hata da soruda verilen her sayıyı hemen toplamak ya da çıkarmaktır. Önce sayının neyi anlattığını bulmalısın: yarıçap mı, merkezler arası uzaklık mı, yoksa başka bir uzunluk mu? Anlamadan işlem yapmak yanlış sonuca götürür.

Veliler için kısa not

Bu konuda çocuğunuzun en çok ihtiyacı olan şey uzun tanımlar değil, kısa çizim çalışmalarıdır. Evde pergel, kurşun kalem ve boş kâğıt ile birkaç dakikalık uygulama yeterli olabilir.

Şu sorular çok faydalıdır: “Merkez neresi?”, “Hangi parça yarıçap?”, “Cetvel kullanmadan hangi kenarların eşit olduğunu nasıl anlarsın?” Bu sorular, çocuğun düşünmesini destekler.

Eğer temel çizgi kavramlarında zorlanıyorsa doğru-doğru parçası-ışın konusuna kısa dönüş yapılabilir. Üçgen sınıflamada zorlanıyorsa üçgen çeşitleri tekrar edilebilir.

Amaç kusursuz çizim yapmak değil, yarıçapın neden eşit olduğunu fark etmektir. Bu nedenle çizim sırasında “Neden [AC] yarıçap oldu?” gibi açıklama isteyen sorular sormak yararlıdır.

Çocuk cevabı söylese bile gerekçeyi de anlatmasını isteyin. Örneğin “Neden ikizkenar?” sorusu, yalnız sonucu değil düşünme yolunu da güçlendirir.

Yanıtlı alıştırmalar

Aşağıdaki çalışmalar çember bilgisini pekiştirmek içindir. İstersen soruları önce çizerek çöz; çizim yapmak, özellikle kesişen iki çember sorularında hangi parçanın yarıçap olduğunu fark etmeyi kolaylaştırır.

1. Soru: A ve B merkezli iki çember C noktasında kesişiyor. |AC| = 4 cm, |BC| = 4 cm ve |AB| = 4 cm ise ABC üçgeni hangi çeşittir?
   Yanıt: |AC|, |BC| ve |AB| eşit olduğu için üçgen eşkenardır.
2. Soru: O merkezli bir çemberde [OA] ve [OB] yarıçap ise bu iki uzunluk arasında nasıl bir ilişki vardır?
   Yanıt: Aynı çemberin yarıçapları oldukları için |OA| = |OB| olur.

Bu tür çizim ve yorum çalışmaları, öğrencinin geometriyi gözle görmesine yardımcı olur. Öğretim sırasına ilişkin genel çerçeve için MEB taslak çerçeve planı incelenebilir.

Aşağıdaki hesap soruları da kesişen çemberlerdeki yarıçap bilgisini kullanır.